מסלול אינטראקטיבי המבוסס על תיקיית אלגברה ליניארית 2א׳ בדרייב של אוניברסיטת תל אביב — מכפלות פנימיות, אופרטורים צמודים, המשפט הספקטרלי וצורת ז׳ורדן.
החשבון, ההתקדמות וקבוצת החברים משותפים לכל הקורסים.
הסבר קצר, אינטואיציה, תרגיל לפי רמה ורמזים שנפתחים רק כשצריך.
מכפלה פנימית מוסיפה גאומטריה למרחב: אורך, זווית והטלה. גרם־שמידט הופך בסיס כללי לבסיס אורתונורמלי בלי לשנות את הפרישה.
בחרי כרטיס כדי לפתוח הסבר ותרגיל. סמני מוכן רק אחרי שהשליפה יושבת.
שבע שאלות בכל סיבוב; המערכת זוכרת מה כבר הופיע ומעדיפה חומר חדש מהדרייב.
סטים לפי נושאי הקורס עם נוסח לחיץ, רמז, שלבים ופתרון מלא. כל סימון פתרון מעניק 100 XP.
לתיקיית המקור בדרייב ↗הסימון נשמר בחשבון
+0 XP מהמאגרב־ℝ² הפעילו גרם־שמידט על v₁=(1,1), v₂=(1,0).
נרמלי את v₁ ואז החסירי מ־v₂ את ההיטל עליו.
u₁=(1,1)/√2
w₂=v₂−⟨v₂,u₁⟩u₁=(1/2,−1/2)
נרמלי: u₂=(1,−1)/√2
מתקבל הבסיס האורתונורמלי {(1,1)/√2,(1,−1)/√2}.
עבור T עם מטריצה A בבסיס אורתונורמלי, הוכיחו ש־[T*]=Āᵗ.
כתבי את המכפלה הפנימית בקואורדינטות.
⟨Ax,y⟩=(Ax)*y
זה שווה x*A*y
לכן האופרטור בצד השני מיוצג על ידי A*
מן השוויון לכל x,y נקבל ⟨Tx,y⟩=⟨x,A*y⟩, ולכן לפי יחידות הצמוד [T*]=A*=Āᵗ.
הראו שאם T=T* ו־Tu=λu, Tv=μv עם λ≠μ, אז u⊥v.
חשב ⟨Tu,v⟩ והעבר את T לצד השני.
⟨Tu,v⟩=λ⟨u,v⟩
מצד שני ⟨Tu,v⟩=⟨u,Tv⟩=μ⟨u,v⟩
(λ−μ)⟨u,v⟩=0
מאחר ש־λ≠μ נקבל ⟨u,v⟩=0, ולכן המרחבים העצמיים אורתוגונליים.
בדקו אם A=[[0,−1],[1,0]] נורמלית מעל ℝ.
חשב AAᵗ ו־AᵗA.
Aᵗ=[[0,1],[−1,0]]
AAᵗ=I
AᵗA=I
A נורמלית ואף אורתוגונלית, כי AAᵗ=AᵗA=I.
עבור N נילפוטנטי בממד 5 נתון dim Ker N=2 ו־dim Ker N²=4 ו־N³=0. מצאו את גדלי הבלוקים.
מספר הבלוקים הוא 2; dim Ker N² סופר min(2,size) בכל בלוק.
יש שני בלוקים
שניהם בגודל לפחות 2 כי dim Ker N²=4
סכום הגדלים 5 ואחד בגודל לפחות 3
גדלי הבלוקים הם 3 ו־2.
נתון m_T(x)=(x−2)(x+1). הוכיחו ש־T לכסין.
לפולינום המינימלי שורשים לינאריים שונים.
המינימלי מתפצל
אין גורם בחזקה מעל 1
לכן כל בלוקי ז׳ורדן בגודל 1
הפולינום המינימלי מתפצל לגורמים לינאריים ללא חזרות, ולכן T לכסין.
כל XP שנצבר כאן מתווסף לאותו דירוג חברים. אפשר ליצור קבוצה, להעתיק קוד ולהזמין חברים.
צרי קבוצה או הצטרפי עם קוד.
משפט אחד בלבד — מה השתבש ומה בודקים בניסיון הבא.