לומדים לינארית דרך ציורים, ניסויים ומשימות גילוי קצרות — ואז עוברים לתרגילי הבית ולמבחנים האמיתיים.
אפשר לעבור בין כל ארבעת הקורסים בלי לאבד XP או את קבוצת החברים.
שחקי עם הציור, נסי להגיע ליעד ורק אז פתחי את ההסבר. כל משימה בונה אינטואיציה שתישאר גם כשהמבחן משנה את המספרים.
שני וקטורים מתחברים כמו שתי תנועות ברצף. כווני את ארבעת הרכיבים כך שהחץ הירוק יגיע לנקודה (3,2).
החץ הירוק הוא התוצאה. העיגול הצהוב הוא היעד.
רעיון קצר, תרגיל לפי רמה, רמז, שלבים ופתרון מלא — הכול באותו מסך.
בסיס הוא קבוצה שגם פורשת את המרחב וגם בלתי תלויה. כמעט כל שאלה בנושא מתפרקת לשתי בדיקות נפרדות: האם אפשר להגיע לכל וקטור, והאם הייצוג יחיד.
בחרי נושא לסשן וסמני אותו רק כשההגדרות, החישוב וההוכחה כבר יושבים.
מאגר מורחב מהמבחנים בדרייב; שאלות שכבר הופיעו נדחקות לסוף התור.
סרקתי את תיקיית לינארית 1א׳ ואת המבחנים העדכניים. בכל שאלה יש נוסח, רמז, דרך פתרון ופתרון מלא; סימון שאלה מעניק 100 XP.
לספריית המבחנים המלאה ↗0 מתוך 5 מבחנים הושלמו
+0 XP מהמאגרהוכיחו tr(AB)=tr(BA), הסיקו שלמטריצות דומות אותה עקבה, והראו שלא ייתכן I=BA−AB.
כתבי את העקבה כסכום כפול לפי אינדקסים.
החליפי את סדר הסכימה
לדמיון השתמשי ב־P⁻¹AP
לקומוטטור קחי עקבה משני האגפים
tr(AB)=ΣᵢΣⱼaᵢⱼbⱼᵢ=tr(BA). לכן tr(P⁻¹AP)=tr(APP⁻¹)=tr(A). אבל tr(BA−AB)=0 בעוד tr(I)=n, סתירה.
תהי T²=T. הוכיחו V=Ker(T)⊕Im(T), מצאו בסיס שבו מטריצת T אלכסונית עם 0 ו־1, והסיקו det(I+T)=2^rank(T).
הפירוק v=(v−Tv)+Tv עושה כמעט הכול.
בדקי v−Tv∈Ker(T)
בדקי Tv∈Im(T)
בני בסיס מאוחד
קראי את הדטרמיננטה מהאלכסון
החיתוך אפס כי w=Tv וגם T(w)=0 נותנים w=T²v=Tv=0. בבסיס של Ker ואחריו Im, המטריצה היא diag(0,…,0,1,…,1), ולכן I+T בעל rank(T) ערכי 2 והשאר 1.
ל־Aₜ עם שורות (1,1,t),(1,t,1),(t,1,1): מצאו rank לכל t; עבור t=−2 מצאו בסיסים ל־Null ול־Col והכריעו אם הסכום ישר.
פרקי את הדטרמיננטה לגורמים, ואז בדקי את הערכים החריגים בנפרד.
חשבי det(Aₜ)
אתרי ערכי t שבהם det=0
דרגי רק במקרים החריגים
לסכום ישר בדקי חיתוך וממדים
הגישה המלאה: det(Aₜ)=(t−1)²(t+2). לכן הדרגה 3 מחוץ ל־t=1,−2; בערכים החריגים מדרגים. עבור t=−2 מוצאים בסיסים ואז בודקים אם וקטור הגרעין שייך גם למרחב העמודות.
הוכיחו שהעתקת הערכה ב־n+1 נקודות שונות היא איזומורפיזם, ואז חשבו det של S(p)=2p(x)−p(1−x).
לחד־חד־ערכיות ספרי שורשים. לדטרמיננטה בחרי בסיס שמכבד סימטריה סביב 1/2.
הראי Ker(T)=0
השתמשי בשוויון ממדים
הפרידי פולינומים סימטריים ואנטי־סימטריים
פולינום בגרעין מתאפס ב־n+1 נקודות ולכן הוא אפס. עבור S, על החלק הסימטרי הערך העצמי הוא 1 ועל האנטי־סימטרי הוא 3; הדטרמיננטה מתקבלת כמכפלת הערכים העצמיים לפי הממדים.
ב־P₂ נתונה T לפי התמונות של 1,x,x². מצאו את כל λ שעבורם λI−T אינה הפיכה.
כתבי מטריצה של λI−T וחפשי מתי הדטרמיננטה אפס.
כתבי p=a₀+a₁x+a₂x²
השווי מקדמים
בני מערכת הומוגנית
אפסי דטרמיננטה
מתקבלת המטריצה [[λ−1,0,−1],[-1,λ−1,0],[0,−1,λ+1]]. הדטרמיננטה נותנת λ³−λ²−λ=0, ולכן λ=0 או λ=(1±√5)/2.
u,v≠0 ולכל פונקציונל T, אם T(u)=0 אז T(v)=0. הוכיחו ש־{u,v} תלויה.
הניחי אי־תלות ובני פונקציונל שסותר את הנתון.
השלימי {u,v} לבסיס
הגדירי T(u)=0 ו־T(v)=1
הגדירי T=0 על שאר הבסיס
הפונקציונל הלינארי שנקבע על הבסיס מקיים T(u)=0 אך T(v)=1, בניגוד להנחה. לכן u,v תלויים.
A,B מסדר 3 מקיימות A−A²B−2I=0 ו־3BA²+A²−3A=0. חשבו det(A).
המשוואה הראשונה נותנת הופכיות. אחר כך צמצמי את השנייה.
פרקי A(I−AB)=2I
הסיקי ש־A הפיכה
כפלי ב־A⁻¹
הציבי חזרה
מקבלים A²=6I. לכן det(A)²=det(6I₃)=6³, ומכאן det(A)=±6√6.
ל־W₁,W₂ תתי־מרחבים מאותו ממד, הוכיחו שקיים U כך ש־W₁⊕U=W₂⊕U=V.
אינדוקציה על הממד ובחירת וקטור מחוץ לאיחוד.
הגדילי את שני המרחבים באותו v
הפעילי אינדוקציה
צרפי את v למשלים שקיבלת
מגדילים את W₁,W₂ באותו וקטור v שאינו באיחוד, משתמשים בהנחת האינדוקציה עבור המרחבים המוגדלים, ואז מוסיפים את v למשלים המתקבל.
חסמו איברי Aⁿ והוכיחו שבתנאי מתאים I+A+…+Aⁿ הפיכה.
השתמשי בזהות (A−I)(I+A+…+Aⁿ)=Aⁿ⁺¹−I.
הוכיחי חסם באינדוקציה
הראי ש־A−I ו־Aⁿ⁺¹−I הפיכות
השתמשי בזהות המכפלה
החסם על Aⁿ מתקבל באינדוקציה. עבור c קטן מספיק שתי מטריצות הקצה הפיכות; אם המכפלה שלהן עם הסכום הפיכה, גם הסכום הפיך.
הראו Im(T²)=Im(T) אם ורק אם Ker(T²)=Ker(T), וספרו העתקות V→V מעל F_q.
שתי ההכלות האוטומטיות ומשפט הממדים.
Im(T²)⊆Im(T)
Ker(T)⊆Ker(T²)
השווי שוויון ממדים
לספירה: מטריצה נקבעת ב־n² איברים
שוויון התמונות שקול לשוויון ממדיהן, ומשפט הממדים הופך אותו לשוויון ממדי הגרעינים; עם ההכלה מקבלים שוויון מרחבים. מספר ההעתקות הוא q^(n²).
למטריצות נתונות מצאו בסיס לחיתוך Col(A)∩Null(B), ואז את rank(BA).
כתבי וקטור בחיתוך בצורה Ax והוסף את התנאי BAx=0.
פתרי BAx=0
העבירי את הפתרונות דרך A
מחקי תלות
ל־rank(BA) דרגי את המכפלה
זו שאלת חישוב: פותרים את המערכת BAx=0, מחשבים את Ax עבור בסיס מרחב הפתרונות ובוחרים בסיס לתמונות שהתקבלו.
כמה איזומורפיזמים שונים F_q⁴→F_q⁴ קיימים?
ספרי בסיסים סדורים לפי בחירה הדרגתית.
בחרי וקטור ראשון לא־אפס
כל הבא מחוץ לפרישה
כפלי את מספר האפשרויות
(q⁴−1)(q⁴−q)(q⁴−q²)(q⁴−q³).
אם Ker(A)=Row(B), הוכיחו Ker(B)=Row(A).
מהנתון קבלי ABᵗ=0, שחלפי, ואז השלימי עם ממדים.
הראי ABᵗ=0
שחלפי לקבלת BAᵗ=0
הסיקי Row(A)⊆Ker(B)
השווי ממדים
הכפל האפס נותן את ההכלה. משפט הממדים והנתון נותנים dim Row(A)=dim Ker(B), ולכן ההכלה היא שוויון.
הוכיחו: עמודות A פורשות את Fᵐ אם ורק אם A מייצגת העתקה לינארית על.
התמונה של ההעתקה המיוצגת איזומורפית למרחב העמודות.
בבסיסים סטנדרטיים Im(T_A)=Col(A)
בבסיסים כלליים השתמשי בקואורדינטות
על ⇔ התמונה כל הטווח
עמודות המטריצה הן קואורדינטות תמונות וקטורי הבסיס, ולכן הן פורשות בדיוק את קואורדינטות התמונה. מכאן השקילות.
ל־T על מרחב מממד סופי הוכיחו שקיים n>0 כך ש־Tⁿ∈Span(I,T,…,Tⁿ⁻¹).
עבדי במרחב Hom(V,V), שגם הוא מממד סופי.
dim Hom(V,V)=d²
קחי d²+1 חזקות
קבלי תלות לינארית
בודדי את החזקה הגבוהה ביותר
הסדרה I,T,…,T^(d²) תלויה לינארית. בוחרים את המקדם האחרון שאינו אפס ומבודדים את החזקה המתאימה.
בדקו מתי קבוצה של מטריצות מהצורה aI+bJ היא שדה מעל F_q.
כל התנאים כמעט עוברים בירושה; המבחן האמיתי הוא הפיכות של כל איבר לא־אפס.
בדקי סגירות
חשבי דטרמיננטה
בדקי אם המשוואה המתאימה פתירה בשדה
ודאי שגם ההופכי נשאר בקבוצה
מחשבים det(aI+bJ). אם הוא אינו מתאפס לכל (a,b)≠(0,0), כל איבר לא־אפס הפיך; נוסחת adj מראה שההופכי נשאר בקבוצה.
מצאו בסיסים B,C כך שמטריצת T הנתונה תהיה מטריצה מייצגת נתונה.
כל עמודה אומרת בדיוק מהי T על וקטור בסיס.
תרגמי עמודות למשוואות
פתרי עבור וקטורי C
פתרי עבור הפרמטרים ב־B
בדקי שהקבוצות בסיסים
מהעמודות מתקבל C={(1,1),(2,1)} ומשפחה B={(3−2c,c−1,c),(1,1,1),(0,0,1)} עבור c≠4/3.
במטריצה 4×4 עם −1 מחוץ לאלכסון, אחד מאיברי האלכסון אפס והאחרים חיוביים. הוכיחו שהדטרמיננטה שלילית.
העבירי את האפס לפינה ואז בצעי פעולות עמודה.
הניחי ללא הגבלת הכלליות a=0
חסרי את העמודה הראשונה מהאחרות
אפסי מתחת לאיבר הראשון
קראי את סימן המכפלה
פעולות העמודה מביאות למטריצה משולשת עם איבר ראשון α=−1/(b+1)−1/(c+1)−1/(d+1)<0 ושאר האלכסון חיובי, ולכן הדטרמיננטה שלילית.
אם Ker(S₁)=Ker(S₂), הוכיחו שקיימת T הפיכה על W כך ש־S₁=TS₂.
בחרי משלים משותף לגרעין ובני את T על בסיסים של התמונות.
V=K⊕U
תמונות בסיס U הן בסיסי התמונות
השלימי בסיסים ב־W
הגדירי T בין שני הבסיסים
T שולחת S₂(uᵢ) אל S₁(uᵢ) ומשלימה איזומורפיזם בין המשלימים ב־W. לכן היא הפיכה ומקיימת את הזהות על כל V.
ל־A הפיכה הגדירו Φ(B)=AᵗB+BᵗA. הוכיחו ש־Φ אינה חד־חד־ערכית.
כל תמונה של Φ סימטרית.
בדקי Φ(B)ᵗ=Φ(B)
לכן התמונה מוכלת במטריצות הסימטריות
יש מטריצות לא־סימטריות
באותו ממד, חד־חד־ערכית הייתה גוררת על
Φ אינה על כי תמונתה סימטרית בלבד. כהעתקה ממרחב מממד סופי לעצמו, אילו הייתה חד־חד־ערכית הייתה גם על — סתירה.
הדירוג משותף לחדו״א וללינארית, כך שכל תרגיל מקדם אותך מול אותה קבוצה.
צרי קבוצה או הצטרפי עם הקוד שכבר קיבלת.
משפט אחד: איזו הגדרה או הכלה פספסת, ומה תבדקי בפעם הבאה.